Question

如图，已知抛线C：x²=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求D的纵坐标y₀的值；
（Ⅱ）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N₁，与直线y=y₀相交于点N₂．求|MN₂|²-|MN₁|²的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，与抛物线x²=4y联立，求出x₁x₂，利用A，B的坐标写出直线AO与BC的直线方程，解出点D的坐标，消去参数x₁，x₂，y₁，y₂，能求出D的纵坐标y₀=-2．
（2）设出切线l的方程，利用直线与抛物线相切，简化切线l的方程，进而求出N₁，N₂的坐标，由此能求出|MN₂|²-|MN₁|²的值．

解答： 解：（1）依题意可设AB的方程为y=kx+2，代入x²=4y，
得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=-8．
直线AO的方程为y=

y1

x1

x，BD的方程为x=x₂，
解得交点D的坐标为

x=x2 y= y1x2 x1

，
x₁x₂=-8，x12=4y₁，
∴y=

y1x1x2

x12

=-

8y1

4y1

=-2，
∴点D在定直线y=-2上，（x≠0），
∴D的纵坐标y₀=-2．
（2）依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x²=4y，得x²=4（ax+b），
即x²-4ax-4b=0．
由△=0得（4a）²+16b=0，化简整理得b=-a²．
故切线l的方程可写为y=ax-a²．
分别令y=2，y=-2，得N1，N2的坐标为N₁（

2

a

+a，2），N₂（-

2

a

+a，-2）
则|MN₂|²-|MN₁|²=(

2

a

-a)2+42-(

2

a

+a)2=8．

点评：本题考查点的纵坐标的求法，考查|MN₂|²-|MN₁|²的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．