Question

相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间角

分析：已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，∠PAO=30°，∠PBO=45°，直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，由此能求出这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值．

解答： 解：如图，已知PA⊥PB，PO⊥平面AOB，
∠PAO=30°，∠PBO=45°，
直线PA，PB这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB，
设PO=x，则AO=

3

x，BO=x，PA=

PO2+AO2

=2x，PB=

PO2+BO2

=

2

x，
AB=

PA2+PB2

=

6

x，
∴cos∠AOB=

AO2+BO2-AB2

2AO•BO

=-

3

3

，
∴sin∠AOB=

1-(- 3 3 )2

=

6

3

．
∴这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题考查两条直线在平面内的射影所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．