Question

15．数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{4}，\frac{2}{4}，\frac{3}{4}，\frac{1}{5}，\frac{2}{5}，\frac{3}{5}，\frac{4}{5}，…，\frac{1}{n}，\frac{2}{n}，…，\frac{n-1}{n}$，…若存在正整数k，使S_k＜100，S_k+1≥100，则a_k=$\frac{14}{21}$，k=203．

Answer 1

分析 由数列项的特点，构建新数列b_n，表示数列中每一组的和，则b_n=$\frac{n}{2}$是个等差数列，记b_n的前n项和为T_n，利用等差数列的和知道T₁₉=95，T₂₀=105，利用S_k＜100，S_k+1≥100，可得k值，即得答案．

解答 解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…
把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5…
构建新数列b_n，表示数列中每一组的和，则b_n=$\frac{n}{2}$是个等差数列，记b_n的前n项和为T_n，
利用等差数列的和知道T₁₉=95，T₂₀=105，
所以a_k定在$\frac{1}{21}$，$\frac{2}{21}$，…，$\frac{20}{21}$中，
又因为S_k＜100，S_k+1＞100，
所以T₁₉+$\frac{1}{21}$+…+$\frac{13}{21}$＜100，T₁₉+$\frac{1}{21}$+…+$\frac{12}{21}$+$\frac{14}{21}$＞100 
故第k项为a_k=$\frac{13}{21}$．k=1+2+…+20+13=203，
故答案为：$\frac{13}{21}$，203．

点评 本题目主要考查学生对数列的观察能力，找出数列之间的相互关系，根据等差数列的前n项和计算公式，根据已有条件计算．考查学生的计算能力．