Question

19．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为a，点P是侧棱AA₁的中点，BC₁∩B₁C=S
（1）作出平面PBC₁与平面ABC的公共直线；（不写做法，保留作图痕迹），并证明：PS∥面ABC；
（2）求四棱锥P-BB₁C₁C的体积．

Answer 1

分析 （1）BD为两面的交线．证明PS∥BD再根据直线和平面平行的判定定理证得PS∥面ABC；
（2）由题意证明PS⊥面BB₁C₁C，再根据四棱锥P-BB₁C₁C的体积公式，运算求得结果．

解答 （1）做法如图：BD为两面的交线．
证明：因为P是AA₁的中点，PA∥CC₁，
所以P是CD中点，
又S是中点，所以PS∥BD，
因为BD?面ABC，PS?面ABC，
所以PS∥面ABD，即PS∥面ABC．
（2）因为在△BCD中AC=AD=AB，
因此以CD为直径的圆过点B，
所以BD⊥BC，
又因为直棱柱中因此BD⊥BB₁，且BC∩BB₁=B
所以BD⊥面BB₁C₁C，PS⊥面BB₁C₁C，
所以${V_{P-B{B_1}{C_1}C}}=\frac{1}{3}{S_{B{B_1}{C_1}C}}PS=\frac{1}{3}{a^2}.\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}$．

点评 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求四棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．