Question

已知等腰三角形△ABC三边为a，b，c三边所对角为A，B，C，满足 bcosC+ccosB=

3

R．R为三角形ABC的外接圆半径．
（1）求角A．
（2）若a=1，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）等腰三角形△ABC中，由条件正弦定理】诱导公式求得sinA=

3

2

，可得A的值．
（2）由a=1，可得当A=

π

3

时，△ABC为等边三角形，求得此时三角形的周长为3；当A=

2π

3

时，利用正弦定理求得b、c的值，可得三角形的周长，综合可得结论．

解答： 解：（1）等腰三角形△ABC中，∵bcosC+ccosB=

3

R，则由正弦定理可得sinBcosC+cosBsinC=

3

2

，
即sin（B+C）=

3

2

=sinA，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

，或A=

2π

3

．
（2）∵a=1，当A=

π

3

时，△ABC为等边三角形，此时三角形的周长为3；
当A=

2π

3

时，B=C=

π

6

，由a=1利用正弦定理可得

b

sin π 6

=

a

sinA

，即

b

1 2

=

1

3 2

，b=

3

3

=c，
此时，三角形的周长为1+

2 3

3

．
综上可得，三角形的周长为3 或1+

2 3

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式的应用，属于基础题．