题目内容
已知数列{an}中，a7=4，an+1=
．
（1）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？
（2）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有
＜an？
| 3an+4 |
| 7-an |
（1）是否存在自然数m，使得当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2？
（2）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有
| an-1+an+1 |
| 2 |
考点：数列递推式
专题：计算题,压轴题,等差数列与等比数列
分析：（1）由题意，化简an+1=
为1-
+
=0，从而说明{
}是以-1为公差的等差数列，从而求出an=
+2，从而找到m；
（2）由（1）知an-1+an+1-2an=
+
-2
化简即可．
| 3an+4 |
| 7-an |
| 5 |
| an-2 |
| 5 |
| an+1-2 |
| 5 |
| an-2 |
| 10 |
| 19-2n |
（2）由（1）知an-1+an+1-2an=
| 10 |
| 21-2n |
| 10 |
| 17-2n |
| 10 |
| 19-2n |
解答：
解：（1）∵an+1=
，
∴anan+1-7an+1+3an+4=0，
即（an-2）（an+1-2）-5（an+1-2）+5（an-2）=0，
可知若an=2，则an+1=2，与a7=4相矛盾，故an≠2，
则1-
+
=0，
∴{
}是以-1为公差的等差数列，
∴
=
-（n-7）=
，
∴an=
+2，
∴当m=10时，满足当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2，
（2）∵an=
+2，
∴an-1+an+1-2an=
+
-2
=
[（19-2n）（17-2n）+（21-2n）（19-2n）-2（21-2n）（17-2n）]
=8•
，
则当n≥11时，8•
＜0，
即
＜an
则存在自然数P（P可以是11），使得当n≥p时，总有
＜an．
| 3an+4 |
| 7-an |
∴anan+1-7an+1+3an+4=0，
即（an-2）（an+1-2）-5（an+1-2）+5（an-2）=0，
可知若an=2，则an+1=2，与a7=4相矛盾，故an≠2，
则1-
| 5 |
| an-2 |
| 5 |
| an+1-2 |
∴{
| 5 |
| an-2 |
∴
| 5 |
| an-2 |
| 5 |
| 4-2 |
| 19-2n |
| 2 |
∴an=
| 10 |
| 19-2n |
∴当m=10时，满足当n≥m时，an＜2；当n＜m时，an＞2，
（2）∵an=
| 10 |
| 19-2n |
∴an-1+an+1-2an=
| 10 |
| 21-2n |
| 10 |
| 17-2n |
| 10 |
| 19-2n |
=
| 10 |
| (21-2n)(19-2n)(17-2n) |
=8•
| 10 |
| (21-2n)(19-2n)(17-2n) |
则当n≥11时，8•
| 10 |
| (21-2n)(19-2n)(17-2n) |
即
| an-1+an+1 |
| 2 |
则存在自然数P（P可以是11），使得当n≥p时，总有
| an-1+an+1 |
| 2 |
点评：本题考查了数列通项公式的推导，构造成等差数列，再解答问题，化简非常困难，要细心，属于压轴题．
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