Question

已知f（xy）=f（x）+f（y）
（1）若x，y∈R，求f（1），f（-1）的值；
（2）若x，y∈R，判断y=f（x）的奇偶性；
（3）若函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，f（2）=1，f（x）+f（x-2）≤3，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知条件，通过赋值法即可f（1），f（-1）的值；
（2）通过（1）f（-1）=0，利用函数的奇偶性定义，判断y=f（x）的奇偶性；
（3）利用函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，结合f（2）=1，f（x）+f（x-2）≤3，得到不等式组，即可求x的取值范围．

解答： 解；（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0---------------（2分）
又令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0--------（3分）
（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1），由（1）知f（-1）=0
所以f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，-----------（6分）
（3）因为f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2----------------（7分）
所以f（8）=f（2）+f（4）=1+2=3---------------（8分）
（2）因为f（x）+f（x-2）≤3
所以f[x（x-2）]≤f（8）---------------（10分）
因为f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以

x＞0 x-2＞0 x(x-2)≤8

，即

x＞0 x＞2 -2≤x≤4

------------------（13分）
所以{x|2＜x≤4}，所以不等式的解集为{x|2＜x≤4}------------（14分）

点评：本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，奇偶性的判断，单调性的应用，考查计算能力．