题目内容
（1+x）十（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a1+a2+a3+…+an-1=509-n，求自然数n= ．
考点：二项式定理的应用
专题：二项式定理
分析：由题意可得可得an=1，a0=n．在所给的等式中，令x=1，求得a1+a2+a3+…+an-1=2n+1-3-n．再根据已知a1+a2+a3+…+an-1=509-n，可得 2n+1-3-n=509-n，由此求得n的值．
解答：
解：由（1+x）十（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，
可得an=1，a0=n．
在上述等式中，令x=1，可得2十22+…+2n =
=2n+1-2=a0+a1+a2+…+an ，
即 2n+1-2=n+a1+a2+…+an-1 +1，∴a1+a2+a3+…+an-1=2n+1-3-n．
再根据已知a1+a2+a3+…+an-1=509-n，可得 2n+1-3-n=509-n，
求得 2n+1=512，故n=8，
故答案为：8．
可得an=1，a0=n．
在上述等式中，令x=1，可得2十22+…+2n =
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
即 2n+1-2=n+a1+a2+…+an-1 +1，∴a1+a2+a3+…+an-1=2n+1-3-n．
再根据已知a1+a2+a3+…+an-1=509-n，可得 2n+1-3-n=509-n，
求得 2n+1=512，故n=8，
故答案为：8．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
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