Question

如图，在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知中，AC=3，BC=4，AB=5，可得三角形ABC为直角三角形，我们可以判断出以斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．

解答： 解：∵在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC为直角三角形，
如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体

∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴CO=

AC•BC

AB

=

12

5

，
故此旋转体的体积V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

48

5

π …6分
（2）又∵AC=3，BC=4，
故此旋转体的表面积
S=πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）=

84π

5

点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键．