Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称； 
③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．
其中正确的判断是

 

（把你认为正确的判断都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由题意求出函数的周期，判断①，推导④，利用周期对称性，判断②，判断③，即可确定正确结果．

解答： 解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）关于y轴对称，
则f（-x）=f（x），
又f（x+1）=-f（x）
f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
∴2为f（x）的一个周期，命题①正确；
f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，命题②正确；
∵f（x）在区间[-1，0]上为增函数，f（x）关于y轴对称，所以f（x）在[0，1]上是减函数，命题③错误；
∵2为f（x）的一个周期，∴f（2）=f（0），命题④正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查函数的周期性，函数单调性的判断与证明，函数的值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．