Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，则f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|的最小值为（　　）

• A、7
• B、-7
• C、6
• D、

  3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：应用向量的数量积的坐标表示及模的平方等于向量的平方，结合两角和的余弦公式、二倍角公式，以及余弦函数的单调性，结合二次函数的值域，即可得到最小值．

解答： 解：由于向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
则

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

|=|

b

|=1，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+1+2cos2x

=

2×2cos2x

=2cosx（x∈[0，

π

2

]），
则f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1
=2（cosx-2）²-9，
由于cosx∈[0，1]，则cosx=1，即x=0时，f（x）取得最小值，且为-7．
故选B．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查二倍角公式和两角和的余弦公式，考查余弦函数的单调性及应用，考查运算能力，属于中档题．