Question

已知函数f（x）=x³+3|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]²≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用分段函数，结合[-1，1]，分类讨论，即可求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

x3+3x-3a+b，x≥a x3-3x+3a+b，x＜a

，h′（x）=

3x2+3，x≥a 3x2-3，x＜a

，则[f（x）+b]²≤4对x∈[-1，1]恒成立，转化为-2≤h（x）≤2对x∈[-1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+3|x-a|=

x3+3x-3a，x≥a x3-3x+3a，x＜a

，
∴f′（x）=

3x2+3，x≥a 3x2-3，x＜a

，
①a≤-1时，∵-1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，
∴M（a）-m（a）=8；
②-1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x³+3x-3a，在（a，1）上是增函数；x∈（-1，a），f（x）=x³-3x+3a，在（-1，a）上是减函数，
∴M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=f（a）=a³，
∵f（1）-f（-1）=-6a+2，
∴-1＜a≤

1

3

时，M（a）-m（a）=-a³-3a+4；

1

3

＜a＜1时，M（a）-m（a）=-a³+3a+2；
③a≥1时，有x≤a，f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，
∴M（a）-m（a）=4；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

x3+3x-3a+b，x≥a x3-3x+3a+b，x＜a

，h′（x）=

3x2+3，x≥a 3x2-3，x＜a

，
∵[f（x）+b]²≤4对x∈[-1，1]恒成立，
∴-2≤h（x）≤2对x∈[-1，1]恒成立，
由（Ⅰ）知，
①a≤-1时，h（x）在（-1，1）上是增函数，最大值h（1）=4-3a+b，最小值h（-1）=-4-3a+b，则-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2矛盾；
②-1＜a≤

1

3

时，最小值h（a）=a³+b，最大值h（1）=4-3a+b，∴a³+b≥-2且4-3a+b≤2，
令t（a）=-2-a³+3a，则t′（a）=3-3a²＞0，t（a）在（0，

1

3

）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=-2，
∴-2≤3a+b≤0；
③

1

3

＜a＜1时，最小值h（a）=a³+b，最大值h（-1）=3a+b+2，则a³+b≥-2且3a+b+2≤2，∴-

28

27

＜3a+b≤0；
④a≥1时，最大值h（-1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b-2，则3a+b-2≥-2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0．
综上，3a+b的取值范围是-2≤3a+b≤0．

点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．