Question

已知数列{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且满足16（a₁+a₄）+7=0，S₁，S₃，S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=n（n∈N₊），记c_n=（-1）ⁿb_na_n^-1，求数列{c_n}前n项和f（n）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设{a_n}的公比为q，
∵S₁，S₃，S₂成等差数列，
∴2S₃=S₁+S₂，
∴2a1(1+q+q2)=a₁（2+q），化简得2q²+q=0，
∵q≠0，
∴q=-

1

2

，
又16（a₁+a₄）+7=0，
∴16[a1+a1(-

1

2

)3]+7=0，
解得a₁=-

1

2

．
∴an=(-

1

2

)n．
（2）∵b_n=n，an=(-

1

2

)n，
∴c_n=（-1）ⁿb_na_n^-1=(-1)n•n•(-

1

2

)-n=n•2ⁿ．
∴f（n）=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2f（n）=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-f（n）=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴f（n）=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．