Question

设a＞0，函数f（x）=asinxcosx-sinx-cosx，x∈[0，

π

2

]的最大值为g（a）．
（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，

π

2

]，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）易知t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，

π

2

]⇒x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，利用正弦函数的单调性可求得t的取值范围为[1，

2

]，从而可得sinxcosx=

t2-1

2

，于是可把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）由于m（t）=a•

t2-1

2

-t=

1

2

at²-t-

1

2

a=

1

2

a(t-

1

a

)2-

1

2

a-

1

2a

，t∈[1，

2

]，a＞0，利用二次函数的图象与性质，通过对其对称轴t=

1

a

范围的讨论，即可求得g（a）．

解答： 解：（1）t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sin（α+

π

4

）≤1，
∴1≤t≤

2

，
即t的取值范围为[1，

2

]，
∵t=sinx+cosx，
∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴m（t）=a•

t2-1

2

-t=

1

2

at²-t-

1

2

a=

1

2

a(t-

1

a

)2-

1

2

a-

1

2a

，t∈[1，

2

]，a＞0；
（2）由二次函数的图象与性质得：
①当

1

a

＜

1+ 2

2

，即a＞2（

2

-1）时，g（a）=m（

2

）=

1

2

a-

2

； 
②当

1

a

≥

1+ 2

2

，即0＜a≤2（

2

-1）时，g（a）=m（1）=-

2

，
∴g（a）=

1 2 a- 2 ，a＞2( 2 -1) - 2 ，0＜a≤2( 2 -1)

．

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查正弦函数的单调性，突出换元法与二次函数的图象与性质的考查，突出分类讨论思想与运算能力的考查，属于中档题．