题目内容
如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（Ⅲ）点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，求点P到直线l的距离的最小值．
考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）通过证明DE⊥平面A1CD，推出A1C⊥DE，A1C⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，推出D，A，B，E，坐标，求出平面A1BE法向量为
=（x，y，z）．求出
=（-1，0，
）．，利用向量的数量积求解CM与平面A1BE所成角的大小．
（Ⅲ）设F（x0，y0，0），利用向量共线求出F(-
，
，0)，求出P（
λ，
λ，2
-2
λ)，设点P在直线l上的射影为P'，推出P′(0，3，2
-2
λ)，利用点P到直线l的距离的平方，通过λ∈[0，1]，利用二次函数的性质求解点P到直线l的距离的最小值．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，推出D，A，B，E，坐标，求出平面A1BE法向量为
| n |
| CM |
| 3 |
（Ⅲ）设F（x0，y0，0），利用向量共线求出F(-
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| -4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）证明：由题CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D
∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C?平面A1CD，
∴A1C⊥DE，又∵A1C⊥CD，
，DE∩CD=D，∴A1C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则D（-2，0，0），
A（0，0，2
），B（0，3，0），E（-2，2，0）∴
=(0，3，-2
)，
=(-2，-1，0)
设平面A1BE法向量为
=（x，y，z）．
则
∴
∴
∴不妨取
=（-1，2，
），
又∵M（-1，0，
）．
∴
=（-1，0，
）．
∴sinθ=|cos＜
，
＞|=
=
=
=
，
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°．
（Ⅲ）设F（x0，y0，0），则
=(x0，y0-3，0)，
=(-2，-1，0)
由题
=
∴
，即F(-
，
，0)
设P(x1，y1，
)，
=(x1，y1，z1-2
)，
=(-
，
，-2
)
设
=λ
，即(x1，y1，z1-2
)=λ(-
，
，-2
)．
∴x1=
λ，y1=
λ，z1=2
-2
λ
即P（
λ，
λ，2
-2
λ)
设点P在直线l上的射影为P'，则P′(0，3，2
-2
λ)
点P到直线l的距离的平方|PP′|2=
λ2+(
λ-3)2=
λ2-14λ+9
由题λ∈[0，1]，故当λ=
时，点P到直线l的距离有最小值
．
∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C?平面A1CD，
∴A1C⊥DE，又∵A1C⊥CD，
，DE∩CD=D，∴A1C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C-xyz，则D（-2，0，0），
A（0，0，2
| 3 |
| AB |
| 3 |
| BE |
设平面A1BE法向量为
| n |
则
|
|
|
∴不妨取
| n |
| 3 |
又∵M（-1，0，
| 3 |
∴
| CM |
| 3 |
∴sinθ=|cos＜
| CM |
| n |
| ||||
|
|
| 1+3 | ||||
|
| 4 | ||
2•2
|
| ||
| 2 |
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°．
（Ⅲ）设F（x0，y0，0），则
| BF |
| BE |
由题
| BF |
| 2 |
| 3 |
| BE |
|
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
设P(x1，y1，
| z | 1 |
|
| 3 |
| A1F |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
设
| A1P |
| A1F |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
∴x1=
| -4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
即P（
| -4 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设点P在直线l上的射影为P'，则P′(0，3，2
| 3 |
| 3 |
点P到直线l的距离的平方|PP′|2=
| 16 |
| 9 |
| 7 |
| 3 |
| 65 |
| 9 |
由题λ∈[0，1]，故当λ=
| 63 |
| 65 |
12
| ||
| 65 |
点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的大小，点到平面的距离的应用，考查空间想象能力以及计算能力，考查转化思想的应用．
练习册系列答案
核心素养学练评系列答案
相关题目
甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若S甲，S乙，S丙分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）
| A、S甲＜S乙＜S丙 |
| B、S甲＜S丙＜S乙， |
| C、S乙＜S甲＜S丙 |
| D、S丙＜S甲＜S乙 |