Question

设 函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0，b∈R），若f（-1）=0，且对任意实数x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件便得，

f(-1)=a-b+1 b2-4a≤0

，所以便可得到（a-1）²≤0，所以只有（a-1）²=0，这样便求出a=1，b=2；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，该函数为二次函数，在对称轴一边有单调性，所以求出该函数对称轴为x=

k-2

2

，所以便有

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2，解不等式即得k的取值范围．

解答： 解：（1）由f（-1）=0得，a-b+1=0，∴b=a+1    ①；
∵对任意x∈R不等式f（x）≥0恒成立；
∴△=b²-4a≤0      ②；
①带入②得，（a-1）²≤0；
∴a=1，b=2；
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1；
该函数对称轴为：x=

k-2

2

；
又g（x）在[-2，2]上是单调函数；
∴

k-2

2

≥2，或

k-2

2

≤-2；
∴k≥6，或k≤-2；
∴实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评：考查一元二次不等式的解为R时判别式△的取值情况，以及二次函数的单调性和对称轴的关系．