题目内容

方程x3-
9
2
x2+6x-a=0有且只有1个实数根，则a的取值范围是
 
．
考点：函数的零点与方程根的关系
专题：函数的性质及应用
分析：设f（x）=x3-
9
2
x2+6x-a，方程有且只有1个实数根等价于极大值小于0，或极小值大于0时，利用导数求极值即可得a的取值范围．
解答： 解：设f（x）=x3-
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x2+6x-a，
则f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0，解得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值f（1）=
5
2
-a，
当x=2时，函数取得极小值f（2）=2-a，
要使方程x3-
9
2
x2+6x-a=0有且只有1个实数根，
只需2-a＞0或
5
2
-a＜0解得a＜2或a＞
5
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故答案为：a＜2或a＞
5
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点评：本题考查函数零点的个数，涉及导数法判函数的单调性和求极值，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+
b
x
，若函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ） 证明：当x＞1时，f（x）＜g（x）．
已知数列{an}满足1=a1≤a2≤…≤an≤…，数列{bn}满足bn=
an
an+1
（
1
an
-
1
an+1
），Sn为数列{bn}的前n项和，证明：
（1）对于n∈N*，0≤Sn＜2；
（2）对于任意c∈[0，2），存在数列{an}使关于n的不等式Sn＞c有无数个解．
对任意x，y满足f（x+y2）=f（x）+2[f（y）]2，且f（1）≠0，则f（2013）=（　　）
A、
2012
2
B、
2013
2
C、
2014
2
D、
2014
2
已知函数f（x）=-2x+4，令Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+f（
3
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1）．
（1）求Sn；
（2）设bn=
an
Sn
（a∈R）且bn＜bn+1对所有正整数n恒成立，求a的取值范围．
如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
1
2
，求平面SCD的法向量．
已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在实数对（x2，y2）∈M使得x1x2+y1y2=0成立，则称集命M是：“孪生对点集”给出下列五个集合：
①M={（x，y）|y=
1
x
}；
②M={（x，y）|y=ex-2}；
③M={（x，y）|y=sinx}；
④M={（x，y）|y=x2-1}；
⑤M={（x，y）|y=1nx}
其中不是“孪生对点集”的序号是
 
．
不等式
1
x+1
＞
1
x
+1的解集是
 
．
已知
m
=（sinx，cosx），x∈[0，π]，
n
=（1，-
3
）．
（1）若
m
∥
n
，求角x；
（2）若
a
=2
m
+
n
，求|
a
|的最大值及取到最大值时相应的x．

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