题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-1，1]上任意两个自变量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的取值范围．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-1，1]上任意两个自变量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）求导，从而可得
，从而求出参数即可；
（2）由题意f（x）=x3-3x在[-1，1]上单调递减，且f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，从而转化恒成立问题为2+2≤t．
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（2）由题意f（x）=x3-3x在[-1，1]上单调递减，且f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，从而转化恒成立问题为2+2≤t．
解答：
解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，
故由题意可得，
，
解得，a=1，b=0；
故y=f（x）=x3-3x；
（2）由（1）知，f（x）=x3-3x在[-1，1]上单调递减，
f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，
故对于区间[-1，1]上任意两个自变量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t可化为2+2≤t，
故t≥4．
故由题意可得，
|
解得，a=1，b=0；
故y=f（x）=x3-3x；
（2）由（1）知，f（x）=x3-3x在[-1，1]上单调递减，
f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，
故对于区间[-1，1]上任意两个自变量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤t可化为2+2≤t，
故t≥4．
点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．
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