Question

某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（1）求直方图中x的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）现有6名上学路上时间小于40分钟的新生，其中2人上学路上时间小于20分钟．从这6人中任选2人，设这2人中上学路上时间小于20分钟人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1，能求出直方图中x的值．
（2）先求出新生上学所需时间不少于60分钟的频率，由此能求出1000名新生中有多少名学生可以申请住宿．
（3）由题设知X的可能取值为0，1，2，分别求出其概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由直方图可得：
20×x+0.0125×20+0.0065×20+0.003×2×20=1．
所以 x=0.025．…（2分）
（2）新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：
0.003×2×20=0.12…（4分）
因为1000×0.12=120
所以1000名新生中有120名学生可以申请住宿．…（6分）
（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．…（7分）
P(X=0)=

C 0 2 • C 2 4

C 2 6

=

2

5

，
P(X=1)=

C 1 2 • C 1 4

C 2 6

=

8

15

，
P(X=2)=

C 2 2 • C 0 4

C 2 6

=

1

15

，
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

…（11分）
EX=

2

5

×0+

8

15

×1+

1

15

×2=

2

3

…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．