Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=4于点Q．
（1）当PF₁⊥F₁F₂时，求点Q坐标；
（2）判断直线PQ与直线OP的斜率之积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；
（3）证明：直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：计算题,作图题,证明题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）作出图形，由题意可求出点P的坐标，由△PF₁F₂∽△F₂EQ可得点Q（4，4）或（4，-4）；
（2）作出图形，设点P（a，b），点Q（4，y），F₂（1，0）；由PF₂⊥QF₂可得y=-3

a-1

b

，从而求直线PQ与直线OP的斜率，化简可得k_PQ=-

3a

4b

，k_OP=

b

a

，故k_OP×k_QP=-

3

4

；
（3）由（2）知，直线PQ的方程为：y-b=-

3a

4b

（x-a），与椭圆方程联立化简，借助3a²+4b²=12可将方程简化为3x²-6ax+12-4b²=0，从而求△=（6a）²-4×3（12-4b²）=0，则证明结论．

解答： 解：（1）由题意，作图如右：
由

1

4

+

y2

3

=1可得，y=±

3

2

，
则点P（-1，

3

2

），
则|PF₁|=

3

2

，|F₁F₂|=2；
则由△PF₁F₂∽△F₂EQ知，

|F2E|

|PF1|

=

|QE|

|F2F1|

，
即

3

3 2

=

|QE|

2

，
解得，|QE|=4，
则点Q（4，4）或（4，-4）；
（2）由题意，如右图：
设点P（a，b），点Q（4，y），F₂（1，0）；
则由PF₂⊥QF₂知，

b-0

a-1

•

y-0

4-1

=-1，
化简得，y=-3

a-1

b

，
则k_PQ=

b-(-3 a-1 b )

a-4

=

b2+3(a-1)

b(a-4)

，
又∵

a2

4

+

b2

3

=1，
∴b2=3(1-

a2

4

)，
∴k_PQ=

-3a(a-4)

4b(a-4)

=-

3a

4b

，
又∵k_OP=

b

a

，
∴k_OP×k_QP=-

3

4

，
即直线PQ与直线OP的斜率之积为定值-

3

4

．
（3）证明：由题意，直线PQ的方程为：y-b=-

3a

4b

（x-a），
即y=-

3a

4b

x+

3a

4b

a+b=-

3a

4b

x+

3

b

，
与

x2

4

+

y2

3

=1联立消y，
由

a2

4

+

b2

3

=1可化为3a²+4b²=12，
将3a²+4b²=12代入化简可得，
3x²-6ax+12-4b²=0，
则△=（6a）²-4×3（12-4b²）
=12（3a²-12+4b²）=0，
故方程有一个根，
即直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系，利用到了三角形的相似比，线线垂直的特征及直线的斜率的求法等，化简非常难，注意要细心，属于难题．