Question

20．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时徒步登上山峰．

Answer 1

分析 先利用正弦定理，求出AD，再在△ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论．

解答 解：在△ABD中，由题意知，∠ADB=∠BAD=30°，∴AB=BD=1，
∵∠ABD=120°，由正弦定理$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，解得$AD=\sqrt{3}$千米，
在△ACD中，由AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos150°，
得$9=3+C{D^2}+2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}CD$，即CD²+3CD-6=0，$CD=\frac{{\sqrt{33}-3}}{2}$千米，
$BC=BD+CD=\frac{{\sqrt{33}-1}}{2}$千米，
两个小时小王和小李可徒步攀登1250×2=2500米，即2.5千米，
而$\frac{{\sqrt{33}-1}}{2}＜\frac{{\sqrt{36}-1}}{2}=\frac{5}{2}=2.5$，
所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．

点评 本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．