Question

10．若函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$与函数g（x）=kx的图象上存在关于原点对称的点，则实数k的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{2e}$

Answer 1

分析 求函数的导数根据函数的对称性，进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值进行求解即可．

解答 解：设（a，$\frac{lna}{a}$），（a＞0）为f（x）图象上任意一点，
则它关于原点的对称点为（-a，-$\frac{lna}{a}$），由题意可知，-$\frac{lna}{a}$=-ka，
即方程$\frac{lna}{{a}^{2}}$=k有解，令h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
又h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令h′（x）=0解得x=$\sqrt{e}$，当x在（0，+∞）内变化时，h′（x），h（x）变化如表：

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
h′（x）	+	0	-
h（x）	↗	极大值$\frac{1}{2e}$	↘

由表知，当x=$\sqrt{e}$时，函数h（x）有最大值，且最大值为$\frac{1}{2e}$．
故选：D

点评 本题主要考查函数最值是求解，根据条件进行转化，利用构造法构造函数，然后利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．