Question

12．如图，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若多面体ABCDP的体积是$\frac{2\sqrt{6}}{9}$，求直线PD与平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （I）根据面面垂直的性质得出DA⊥平面PAB，故而DA⊥PB；
（II）取AB中点E，则易证PE⊥平面ABCD，故而∠PDE为所求角，根据棱锥的体积求出PE，即可得出tan∠PDE．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABP，又PB?平面ABP，
∴AD⊥PB．
（Ⅱ）取AB的中点E，连接PE，DE．
∵PA=PB，E是AB的中点，
∴PE⊥AB，
又平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，PE?平面ABP，
∴PE⊥平面ABCD，
∴直线PD与平面ABCD所成的角为∠PDE．
∵${{V}_{ABCDP}}={{V}_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×1×2×PE=\frac{2\sqrt{6}}{9}$，∴$PE=\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵$DE=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{2}$，∴$tan∠PDE=\frac{PE}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PDE=30°．
所以直线PD与平面ABCD所成的角为30°．．

点评 本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积与线面角的计算，属于中档题．