Question

9．O为△ABC平面内一定点，该平面内一动点P满足M={P|$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（|$\overrightarrow{AB}$|sinB•$\overrightarrow{AB}$+|$\overrightarrow{AC}$|sinC•$\overrightarrow{AC}$），λ＞0}，则△ABC的（　　）一定属于集合M．

• A． 重心
• B． 垂心
• C． 外心
• D． 内心

Answer 1

分析 由题意画出图形，根据正弦定理得出|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC，代入关系式由向量的减法化简，得出$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AD}$共线，由此得出点P的轨迹，从而得出答案．

解答 解：△ABC中，由正弦定理得，$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}$，
即|$\overrightarrow{AB}$|sinB=|$\overrightarrow{AC}$|sinC，
设t=|$\overrightarrow{AB}$|sinB，
代入$\overrightarrow{OP}$，则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λt（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+2λt$\overrightarrow{AD}$，且λ、t都是常数，
∴$\overrightarrow{AP}$=2λt$\overrightarrow{AD}$，
∴点P的轨迹是直线AD，
∴△ABC的重心一定属于集合M．
故选：A．

点评 本题考查了向量在平面图形中的应用以及正弦定理、向量的减法和共线的应用问题，是综合性题目．