Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（Ⅰ）证明：AC=BC；
（Ⅱ）证明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱锥的结构特征

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三角形全等可证；
（Ⅱ）先证AB⊥平面PDC，再由线面垂直的性质证明AB⊥PC；
（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．证明∠AEB为二面角B-PC-A的平面角，求得三角形ABE的面积，根据V_P-ABC=

1

3

×S_△ABE×PC计算．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
∴Rt△PBC≌Rt△PAC，可得AC=BC；

（Ⅱ）如图，取AB的中点D，连结PD，CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，
∴AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，
∴AB⊥PC；

（Ⅲ）作BE⊥PC，垂足为E，连结AE．
∵△PAB是等边三角形，∴AE⊥PC，
同理BE⊥PC，∠AEB为二面角B-PC-A的平面角，且AE=BE．
∵平面PAC⊥平面PBC，∴∠AEB=90°．
∴△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
又PC=4，得AE=BE=2，∴△AEB的面积S=2．
∵PC⊥平面AEB，
∴V_P-ABC=

1

3

×2×4=

8

3

．

点评：本题考查了线面垂直的证明与性质，考查了棱锥的体积计算，考查了学生的推理论证能力及空间想象能力．