Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．
（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；
（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的

5

9

，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．

解答： （Ⅰ）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，
则AM⊥MC．
又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，
所以A M⊥平面PCD，
所以平面ABM⊥平面PCD--------（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AM⊥PD，又PA=AD，则M是PD的中点可得AM=2

2

，MC=

MD2+CD2

=2

3

则S△ACM=

1

2

AM•MC=2

6

，
设D到平面ACM的距离为h，
由V_D-ACM=V_M-ACD即2

6

h=8，
可求得h=

2 6

3

，
设所求角为θ，则sinθ=

h

CD

=

6

3

．--------（10分）
（Ⅲ）解：可求得PC=6，因为AN⊥NC，由

PN

PA

=

PA

PC

，得PN=

8

3

，
所以NC：PC=5：9，
故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的

5

9

．
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（Ⅱ）可知所求距离为

5

9

h=

10 6

27

．--------（14分）

点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，三垂线定理，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．