题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB=
2sinC
cosA
．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知
a
c
+
c
a
=3，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）切化弦，可整理为tanA+tanB=
sinC
cosAcosB
，结合已知tanA+tanB=
2sinC
cosA
，可求得cosB=
1
2
，在△ABC中，可求得B的值；
（Ⅱ）由
a
c
+
c
a
=3，易求
b2
ac
=2，利用正弦定理可得
b2
ac
=
sin2B
sinAsinC
=
3
4sinAsinC
=2，从而可求得
1
tanA
+
1
tanC
的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵tanA+tanB=
sinA
cosA
+
sinB
cosB
=
sinAcosB+cosAsinB
cosAcosB
=
sin(A+B)
cosAcosB
=
sinC
cosAcosB
，…（3分）
∵tanA+tanB=
2sinC
cosA
，
∴
sinC
cosAcosB
=
2sinC
cosA
，
∴cosB=
1
2
，
∵0＜B＜π，
∴B=
π
3
．…（6分）
（Ⅱ）∵
a
c
+
c
a
=
a2+c2
ac
=
b2+2accosB
ac
=
b2+2ac×
1
2
ac
=3，
∴
b2
ac
=2，…（9分）
而
b2
ac
=
sin2B
sinAsinC
=
sin2
π
3
sinAsinC
=
3
4sinAsinC
，
∴sinAsinC=
3
8
．…（12分）
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sin(A+C)
sinAsinC
=
sinB
sinAsinC
=
3
2sinAsinC
=
4
3
3
．…（14分）
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知圆C：（x-2）2+y2=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是
 
．
某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如茎叶图（单位：cm）：

在这30株树苗中，树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．
（1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？
（2）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=x3-ax．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若对?x1∈（0，+∞），总存在x2∈[1，2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围；
（3）证明不等式：（
1
n
）n+（
2
n
）n+…+（
n
n
）n＜
e
e-1
．
已知函数f(x)=
1
2
x2-x+alnx（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数 f（x）的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=4
3
y的焦点重合，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=
1
2
，直线l：y=kx+m（km＜0）与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，AB∥l，且
|AB|2
|MN|
=4．是否存在直线l，使得
OM
•
ON
=-2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
设u=（x，y）=|ex-y|-y|x-lny|，x，y∈R．
（1）若a＞0，令f（x）=（x，a），判断f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜b，令F（x）=u（x，a）-u（x，b），试求函数F（x）的最小值；
（3）记（2）中的最小值为T（a，b），证明：T（a，b）＞0．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞1时，f（x+1）=f（x）+f（1），且若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为
 
．
执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（　　）
A、5B、7C、9D、11

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