Question

设f（n）是定义在N^*上的增函数，f（4）=5，且满足：①任意n∈N^*，f（n）∈Z；②任意m，n∈N^*，有f（m）f（n）=f（mn）+f（m+n-1）．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）求f（n）的表达式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用已知的表达式，通过m=1，n=4，直接求f（1），利用函数的单调性以及f（n）∈Z，即可求出f（2），f（3）的值；
（2）利用函数的关系式，推出f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，然后求出f（n）的表达式．

解答： 解：（1）∵f（m）f（n）=f（mn）+f（m+n-1），f（4）=5，
∴f（1）f（4）=f（4）+f（4）．
∴5f（1）=10，∴f（1）=2；
∵f（n）是定义在N^*上的增函数，
∴2=f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）
∵f（n）∈Z，
∴f（2）=3，f（3）=4．
（2）∵f（n）是定义在N^*上的增函数，
∴f（n+1）＞f（n），又f（n）∈Z，
∴f（n+1）≥f（n）+1，又f（1）=2．∴f（n）≥n+1，
由已知可得：f（2）f（n）=f（2n）+f（n+1），
而f（2）=3，f（2n）≥2n+1，
∴3f（n）≥f（n+1）+2n+1，
即f（n+1）≤3f（n）-2n-1或者f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）
∴有f（n+1）-n-2≤3（f（n）-n-1）≤3²（f（n-1）-n）≤3³（f（n-2）-n+1）≤…≤3ⁿ（f（1）-2）=0
于是，f（n+1）≤n+2，又f（n+1）≥n+2，
∴f（n+1）=n+2．
又f（1）=2，
∴f（n）=n+1．

点评：本题考查抽象函数的解析式的应用，函数值的求法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．