Question

17．已知函数f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$，现有一组数据，绘制得到茎叶图，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）现从茎叶图小于3的数据中任取2个数据分别替换m的值，求恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；
（Ⅱ）写出茎叶图小于3的数据，从中任取2个数据的不同取法；
利用判别式△＜0求出函数f（x）没有零点时m的取值范围，求出对应的事件数，
计算所求的概率值．

解答 解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为
$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
（Ⅱ）茎叶图小于3的数据有0.3，0.7，0.5，1.4，1.9，1.8，2.3共7个；
从中任取2个数据，有${C}_{7}^{2}$=21种不同的取法；
函数f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$中，
△=2（m-1）²-m=2m²-5m+2，
令△＜0，解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
∴满足该条件的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；
用抽出的2个数分别替换m的值，恰有1个数据使得函数f（x）没有零点的不同取法是${C}_{4}^{1}$•${C}_{3}^{1}$=12，
故所求的概率为P=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了茎叶图与古典概型的概率计算问题，是综合题．