Question

1．已知函数f（x）=（x+5）（x²+x+a）的图象关于点（-2，0）对称，设关于x的不等式f′（x+b）＜f′（x）的解集为M，若（1，2）⊆M，则实数b的取值范围是[-6，0）．

Answer 1

分析 根据题意可知f（-4）+f（0）=0，由此可知求出a=-2，求导得到f′（x），由f′（x+b）＜f′（x）转化为b（2x+b+4）＜0，分类讨论，根据（1，2）⊆M，即可求出b的范围

解答 解：∵函数f（x）=（x+5）（x²+x+a）的图象关于点（-2，0）中心对称，
∴f（-4）+f（0）=0，
∴（-4+5）（16-4+a）+5a=0
∴a=-2，
∴f（x）=（x+5）（x²+x-2）=x³+6x²+3x-10，
∴f′（x）=3x²+12x+3，
∵f′（x+b）＜f′（x）
∴3（x+b）²+12（x+b）+3＜3x²+12x+3，
∴2bx+b²+4b＜0，
即b（2x+b+4）＜0，
当b＞0时，解得x＜-$\frac{b+4}{2}$，
∵（1，2）⊆M，
∴-$\frac{b+4}{2}$≥2，解得b≤-8，
∴b∈∅；
当b＜0时，解得x＞-$\frac{b+4}{2}$，
∵（1，2）⊆M，
∴-$\frac{b+4}{2}$≤1，解得b≥-6，
∴-6≤b＜0，
综上所述b的取值范围[-6，0）
故答案为：[-6，0）

点评 本题考查集合的包含关系，考查函数图象的对称性，导数的运算，以及不等式的解集，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．