Question

15．一只袋中装有编号为1，2，3，…，n的n个小球，n≥4，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξ_n，如ξ₄=3，ξ₅=3或4，ξ₆=3或4或5，记ξ_n的数学期望为f（n）．
（1）求f（5），f（6）；
（2）求f（n）．

Answer 1

分析 （1）ξ₅=3或4，求出ξ₅的概率分布，从而能求出f（5），ξ₆=3或4或5，求出ξ₆的概率分布列，由此能求出f（6）．
（2）ξ_n=3，4，5，…，n-1，P（ξ_n=i）=$\frac{（n-i）{C}_{i-1}^{2}}{{C}_{n}^{4}}$，i=3，4，…，n-1，f（n）=E（ξ_n），由此能求出结果．

解答 解：（1）ξ₅=3或4，P（ξ₅=3）=$\frac{2}{5}$，P（ξ₅=4）=$\frac{3}{5}$，
∴ξ₅的概率分布为：

ξ5	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$

则f（5）=E（ξ₅）=$3×\frac{2}{5}+4×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$．…（2分）
ξ₆=3或4或5，P（ξ₆=3）=$\frac{1}{5}$，P（ξ₆=4）=$\frac{2}{5}$，P（ξ₆=5）=$\frac{2}{5}$，
ξ₆的概率分布如下：

ξ6	3	4	5
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

则f（6）=E（ξ₆）=$3×\frac{1}{5}+4×\frac{2}{5}+5×\frac{2}{5}$=$\frac{21}{5}$．…（4分）
（2）ξ_n=3，4，5，…，n-1，
P（ξ_n=i）=$\frac{（n-i）{C}_{i-1}^{2}}{{C}_{n}^{4}}$，i=3，4，…，n-1，…（6分）
∴f（n）=E（ξ_n）=$\sum_{i=3}^{n-1}$[i×$\frac{（n-i）{C}_{i-1}^{2}}{{C}_{n}^{4}}$]
=$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$$\sum_{n}^{n-1}$[i×（n-i）×${C}_{i-1}^{2}$]
=$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}$$\sum_{i=3}^{n-1}$[i×（n-i）×$\frac{（i-1）（i-2）}{2}$]
=$\frac{1}{{C}_{n}^{4}}\sum_{i=3}^{n-1}[3（n-i）×\frac{i（i-1）（i-2）}{6}]$
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}\sum_{i=3}^{n-1}$[（n-i）×${C}_{i}^{3}$]
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}\sum_{i=3}^{n-1}$（nC${\;}_{i}^{3}$-i${C}_{i}^{3}$）
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}\sum_{i=3}^{n-1}[（n+1）{C}_{i}^{3}-（i+1）{C}_{i}^{3}]$
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}[\sum_{i=3}^{n-1}（n+1）{C}_{i}^{3}-4\sum_{i=3}^{n-1}{C}_{i+1}^{4}]$
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}$[（n+1）$\sum_{i=3}^{n-1}{C}_{i}^{3}-4\sum_{i=3}^{n-1}{C}_{i+1}^{4}$]
=$\frac{3}{{C}_{n}^{4}}$[（n+1）C${\;}_{n}^{4}$-4${C}_{n+1}^{5}$]
=$\frac{3}{5}（n+1）$．…（10分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．