Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，都有f（1+x）=f（1-x），且f（x）在（-∞，1]上是单调递增，若x₁＜x₂，且x₁+x₂=3，则f（x₁）与f（x₂）的大小关系是（　　）

• A、f（x₁）＜f（x₂）
• B、f（x₁）=f（x₂）
• C、f（x₁）＞f（x₂）
• D、不能确定

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：若x₁≤1，利用对称性把f（x₁）变到区间[1，+∞）上用单调性与f（x₂）比较；若x₁＞1，则由1＜x₁＜x₂直接用单调性可进行大小比较．

解答： 解：∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）关于x=1对称，
∵f（x）在（-∞，1]上是单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）上是单调递减，
若x₁≤1，由x₁+x₂=3＞2，得x₂＞2-x₁≥1，
∴f（x₁）=f（2-x₁）＞f（x₂）；
若x₁＞1，则1＜x₁＜x₂，∴f（x₁）＞f（x₂），
综上知f（x₁）＞f（x₂），
故选：C．

点评：本题考查函数的单调性，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键，数形结合是分析本题的有力工具．