Question

如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若OP=10，AB=4，求BE与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先根据中位线定理得到OE∥AP，进而再由线面平行的判定定理可得到PA∥平面BDE．
（2）先根据线面垂直的性质定理得到PO⊥BD，结合AC⊥BD根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，从而根据面面垂直的判定定理得到平面PAC⊥平面BDE，得证；
（3）取OC的中点F，连接EF和BF，可得∠EBF为BE与底面ABCD所成角，即可求出BE与底面ABCD所成角的正切值．

解答： 证明：（1）连接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP
∴PA∥EO，
又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PO⊥底面ABCD，
PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．                                      
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE；
（3）取OC的中点F，连接EF和BF，则OP∥EF，EF=5
又∵OP⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，
∴∠EBF为BE与底面ABCD所成角．
∵OF=

1

2

OB=

2

，BF=

OB2+OF2

=

10

，
∴tan∠EBF=

EF

BF

=

10

2

．

点评：本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行⇒线面平行；二是面面平行⇒线面平行．证明面面垂直的常用方法是：线面垂直⇒面面垂直．