Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M为BC上一点，且BM=

1

2

．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=

π

3

，M为BC上一点，且BM=

1

2

，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；
（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P-ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，
∵AB=2，∠BAD=

π

3

，
∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（

π

2

-

π

3

）=1，
又∵BM=

1

2

，∠OBM=

π

3

，
∴在△OBM中，OM²=OB²+BM²-2OB•BM•cos∠OBM=

3

4

，
即OB²=OM²+BM²，即OM⊥BM，
∴OM⊥BC，
又∵PO⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PO⊥BC，
又∵OM∩PO=O，OM，PO?平面POM，
∴BC⊥平面POM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（

π

2

-

π

3

）=

3

，
设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，
故PA²=PO²+OA²=a²+3，
由△POM也为直角三角形得：
PM²=PO²+OM²=a²+

3

4

，
连接AM，

在△ABM中，AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cos∠ABM=22+(

1

2

)2-2•2•

1

2

•cos

2π

3

=

21

4

，
由MP⊥AP可知：△APM为直角三角形，
则AM²=PA²+PM²，即a²+3+a²+

3

4

=

21

4

，
解得a=

3

2

，即PO=

3

2

，
此时四棱锥P-ABMO的底面积S=S_△AOB+S_△BOM=

1

2

•AO•OB+

1

2

•BM•OM=

5 3

8

，
∴四棱锥P-ABMO的体积V=

1

3

S•PO=

5

16

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档．