Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都满足 f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞0时，f（x）＞1，则不等式f（2x-1）+f（

1

x

）＜2的解集是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（0，1）
• B、（-∞，0）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x=y=0，求出f（0）=1，令y=-x得到f（x）+f（-x）=2，令x₁＜x₂，由条件推出f（x₁）＜f（x₂），即可判断f（x）的单调性；

解答： 解：令x=y=0则f（0）=2f（0）-1，f（0）=1，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）-1=1，f（x）+f（-x）=2
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时f（x）＞1
∴f（x₂-x₁）＞1
即f（x₂）+f（-x₁）-1＞1
∵f（-x₁）+f（x₁）=2
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数；
f（2x-1）+f（

1

x

）=f（2x-1+

1

x

）+1
不等式f（2x-1）+f（

1

x

）＜2等价于f（2x-1+

1

x

）+1＜2，f（2x-1+

1

x

）＜1，
∴f（2x-1+

1

x

）＜f（0），
∵f（x）在R上是增函数，
∴2x-1+

1

x

＜0，解得x＜0，
故选：B．

点评：本题主要考查函数的单调性及应用，注意定义的运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，务必掌握．