Question

函数f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）的定义域是

 

，奇偶性为

 

，单调递减区间是

 

．

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由于m∈N^*，所以m（m+1）是偶数，所以m（m+1）+1是奇数，进而去求函数的定义域，判断奇偶性和单调性．

解答： 解：因为m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，
∴函数f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）的定义域是{x|x≠0}，
又m²+m+1=m（m+1）+1，
∵m∈N^*，
∴m（m+1）是偶数，
m（m+1）+1是奇数，
故函数f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）是奇函数；
因为函数f（x）=

1

xm2+m+1

（m∈N^*）是奇函数；
故函数在定义域是减函数，减区间是（-∞，0），（0，+∞）．
故答案为：{x|x≠0}，奇函数，（-∞，0），（0，+∞）．

点评：本题主，主要考查函数的定义域、奇偶性和单调性，属于基础题．