Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x+

11

2

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n和为T_n，求T_n及使不等式T_n＜

k

2012

对一切n∈N^*都成立的最小正整数k的值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用数列的通项和前n项和的关系，即可得到数列数列{a_n}的通项公式；运用等差数列的通项和求和公式，求出公差，即可得到数列{b_n}的通项公式；
（2）化简c_n，运用裂项相消求和，求出数列{c_n}的前n和为T_n，再由数列的单调性，即可得到k的最小值．

解答： 解：（1）由题意，得

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

，即S_n=

1

2

n²+

11

2

n，
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（

1

2

n²+

11

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

11

2

（n-1）]=n+5，
n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1时，n+5=6，
所以，a_n=n+5；
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0即b_n+2-b_n+1+=b_n+1-b_n，
所以{b_n}为等差数列，于是

9(b3+b7)

2

=153而b₃=11，b₇=23，
解得公差为3，因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2；
（2）c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

3

[2(n+5)-11][2(3n+2)-1]

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以，T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

易知T_n单调递增，由Tn＜

k

2012

得k＞2012T_n，而Tn→

1

2

，故k≥1006，
∴k_min=1006．

点评：本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项和求和公式，考查裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题．