题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1，A1A⊥底面ABC为正三角形，D为AC中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；
（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；
（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；
解答：
（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．
∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD?平面AB1C，A1B?平面AB1C，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；
∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD?平面AB1C，A1B?平面AB1C，
∴直线AB1∥平面BC1D；
（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，
∴AA1⊥BD，
∵底面ABC正三角形，D是AC的中点
∴BD⊥AC
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；
点评：本题考查了直三棱柱的性质，求证线面平行、面面垂直，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，属于中档题．
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