题目内容
已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2-a2=bc，sinBsinC=
，∠A=
，试判断△ABC的形状．
| 3 |
| 4 |
| π |
| 3 |
考点：余弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：△ABC中，利用余弦定理可知A=
，于是C=
-B，利用两角差的正弦与二倍角公式可求得sin（2B-
）=1，从而可求得B=
，于是可判断△ABC的形状．
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：
解：∵△ABC中，b2+c2-a2=bc，
∴a2=b2+c2-bc，
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，
∴cosA=
，A∈（0，π），
∴A=
；
∴C+B=π-A=
，
∴C=
-B，
∴sinBsinC=sinBsin（
-B）=
，
即sinB[
cosB-（-
sinB）]=
sin2B+
（1-cos2B）=
，
整理得：
sin2B-cos2B=2，
∴2sin（2B-
）=2，sin（2B-
）=1，
∴2B-
=2kπ+
（k∈Z），
∴B=kπ+
（k∈Z），
又B∈（0，
），
∴B=
，
∴△ABC为等边三角形．
∴a2=b2+c2-bc，
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
∴C+B=π-A=
| 2π |
| 3 |
∴C=
| 2π |
| 3 |
∴sinBsinC=sinBsin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
即sinB[
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
整理得：
| 3 |
∴2sin（2B-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴2B-
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴B=kπ+
| π |
| 3 |
又B∈（0，
| 2π |
| 3 |
∴B=
| π |
| 3 |
∴△ABC为等边三角形．
点评：本题考查余弦定理的应用，着重考查两角差的正弦与二倍角公式的综合应用，考查三角恒等变换及运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知集合A={x|x2-1≥0}，集合B={x|x-1≤0}，则（∁RA）∩B=（ ）
| A、{x|x≥1} |
| B、{x|-1＜x＜1} |
| C、{x|-1x≤1} |
| D、{x|x＜-1} |
某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
| A、4 | ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、8 |