Question

已知函数f（x）=2αcos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）

1

2

+

3

2

．
（1）求函数f（x）的单调减区间和对称轴方程；
（2）求函数f（x）取得最大值和最小值时对应的x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（0）=2可求得a=1，再由f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可求得b=2，从而可得y=f（x）的解析式，利用正弦函数的性质可求函数f（x）的单调减区间和对称轴方程；
（2）利用f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，可求得函数f（x）取得最大值和最小值时对应的x的集合．

解答： 解：（1）∵f（x）=a（1+cos2x）+

1

2

bsin2x，
又f（0）=2a=2，
∴a=1；
∴f（x）=1+cos2x+

1

2

bsin2x，
又f（

π

3

）=1+cos

2π

3

+

1

2

bsin

2π

3

=1-

1

2

+

3

4

b=

1

2

+

3

4

b=

1

2

+

3

2

，
∴b=2，
∴f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

（k∈Z），
∴f（x）的单调减区间为[kπ-

π

8

，kπ+

5π

8

]（k∈Z）；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），
∴函数f（x）的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
（2）当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最大值

2

+1；
∴f（x）取得最大值时对应的x的集合为{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；
当2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，f（x）取得最小值-

2

+1；
∴f（x）取得最小值-

2

-1时对应的x的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性、对称性与最值，考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．