Question

若数列{A_n}满足A_n+1=A

2 n

，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，点{a_n，a_n+1}在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b_n=

lgTn

lg(an+1)

，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件推导出an+1=

a

2 n

+2an，由此能证明{a_n+1}是“平方递推数列”，由lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），能证明{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）为首项，2为公比的等比数列．
（II）解：由（I）知lg(an+1)=2n-1，由此能求出lgT_n的值．
（III）由bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n，并求出使S_n＞2014的n的最小值．

解答： （I）证明：由题意得：an+1=

a

2 n

+2an，
即 an+1+1=(an+1)2，
则{a_n+1}是“平方递推数列”，…（2分）
又有lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
得{lg（a_n+1）}是以lg（a₁+1）为首项，2为公比的等比数列．…（4分）
（II）解：由（I）知lg(an+1)=lg(a1+1)•2n-1=2n-1，…（5分）
∴lgT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）
=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．…（8分）
（III）解：bn=

lgTn

lg(an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，…（9分）
Sn=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2+

1

2n-1

，…（10分）
又S_n＞2014，即2n-2+

1

2n-1

＞2014，n+

1

2n

＞1008，
又 0＜

1

2n

＜1，
∴n_min=1008．…（13分）

点评：本题考查平方递推数列的证明，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法及应用，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．