Question

已知sinα=

5

5

，cos（α-β）=

4

5

，

π

2

＜β＜α＜π．
（1）求cos（

5π

6

-2α）的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,同角三角函数间的基本关系

专题：三角函数的求值

分析：（1）由二倍角公式可得cos2α，进而可得sin2α，代入两角差的余弦公式可得；
（2）由角的范围和同角三角函数的基本关系可得cosα和sin（α-β），而sinβ=sin[α-（α-β）]，展开代值计算即可．

解答： 解：（1）∵

π

2

＜α＜π，sinα=

5

5

＜

2

2

，
∴

3π

4

＜α＜π，∴

3π

2

＜2α＜2π，
∴cos2α=1-2sin²α=

3

5

，
∴sin2α=-

1-cos2α

=-

4

5

，
∴cos（

5π

6

-2α）=-

3

2

cos2α+

1

2

sin2α
=-

3 3 +4

10

；
（2）∵

π

2

＜β＜α＜π，∴0＜α-β＜

π

2

，
又sinα=

5

5

，cos（α-β）=

4

5

，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 5

5

，
sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

5

5

×

4

5

+

2 5

5

×

3

5

=

2 5

5

．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．