Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，设S_n为数列{a_n}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N₊，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立，则S_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，可判断{S_n+1-S_n}是首项为S₂-S₁=2，公差为2的等差数列，从而S_n+1-S_n=2+（n-1）×2=2n，然后利用累加法可求答案．

解答： 解：由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1），得S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴{S_n+1-S_n}是首项为S₂-S₁=2，公差为2的等差数列，
∴S_n+1-S_n=2+（n-1）×2=2n，
则n≥2时，S₂-S₁=2，S₃-S₂=4，…，S_n-S_n-1=2（n-1），
累加，得S_n-S₁=2+4+…+2（n-1）=

(n-1)2n

2

=n2-n，
∴sn=n2-n+1，又s₁=1适合上式，
故sn=n2-n+1，
故答案为：n²-n+1．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项，累加法求数列的通项是常用方法，要熟练掌握．