Question

设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，则数列{a_n}的前n项和可以表示为（　　）

• A、

  n

  i=1

  C

  i-1 n

  3^n-i+1
• B、

  n

  i=1

  （

  C

  i-1 n

  3^n-i+i）
• C、

  n

  i=1

  C

  i n

  3^n-i+1
• D、

  n

  i=1

  （

  C

  i n

  3^n-i+i）

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,二项式定理

分析：由已知a_n+1=4a_n-3n+1，变形为a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），利用等比数列和等差数列的前n项和公式、二项式定理即可得出．

解答： 解：∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），
∵a₁=2，
∴a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以1为首项，公比为4的等比数列．
∴an-n=4n-1，an=4n-1+n．
∴Sn=(1+1)+(4+2)+(42+3)+…+(4n-1+n)
=（1+2+3+…+n）+（1+4+4²+…+4^n-1）
=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

．
而

1

3

(4n-1)+

1

2

n(n+1)
=

1

3

[(3+1)n-1]+

1

2

n(n+1)
=

1

3

(3n+

C

1 n

3n-1+…+

C

n-2 n

32+

C

n-1 n

3+1-1)+

1

2

n(n+1)
=3n-1+

C

1 n

3n-2+…+

C

n-2 n

3+

C

n-1 n

+（1+2+…+n）
=

n

i=1

(

C

i-1 n

3n-i+i)．
故选：B．

点评：本题考查了等比数列和等差数列的通项公式及其前n项和公式、二项式定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．