Question

10．如图1，ABCD为长方形，AB=3，AD=$\sqrt{2}$，E，F分别是边AB，CD上的点，且AE=CF=1，DE与AF相交于点G，将三角形ADF沿AF折起至ADF'，使得D'E=1，如图2．
（1）求证：平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）求三棱锥D'-BEG的体积．

Answer 1

分析 （1）在矩形中由已知可得，△ADF∽△EAD，则∠DAF=∠AED，得到AF⊥DE，在图2中可得AF⊥D′G，AF⊥GE，再由线面垂直的判定可得AF⊥平面D′GE，进一步得到平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）由（1）可得D′E⊥平面ABCF，把三棱锥D'-BEG的体积转化为2倍D'-AEG的体积求解．

解答 （1）证明：在图1的直角三角形ADF和直角三角形EAD中，
∵$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$，∴△ADF∽△EAD，则∠DAF=∠AED，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∴∠AED+∠EAF=90°，则AF⊥DE；
在图2中，∴AF⊥D′G，AF⊥GE，
∵D′G∩GE=G，∴AF⊥平面D′GE，
∵AF?平面ABCF，∴平面D'EG⊥ABCF平面；
（2）解：∵$AD′=\sqrt{2}$，AE=1，D′E=1，
∴D′E⊥AE，
由（1）可知，AF⊥平面D′EG，∴AF⊥D′E，
∵AE∩AF=A，∴D′E⊥平面ABCF，
又EG=$\frac{1}{3}$ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴AG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴${S}_{△AEG}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴V_D′-BEG=2V_D′-AEG=$\frac{\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，关键是注意折叠问题折叠前后的变量与不变量，是中档题．