Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长是I的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN∥平面PAD
（2）若MN=3，求四棱锥P-ABCD的体积

Answer 1

分析 （1）取CD中点Q，连结MQ，NQ．根据正方形的性质和中位线定理得出NQ∥平面PAD，NQ∥平面PAD，从而平面MNQ∥平面PAD，于是MN∥平面PAD．
（2）根据勾股定理求出NQ的长，于是PD=2NQ，代入体积公式计算．

解答 证明：（1）取CD中点Q，连结MQ，NQ．则NQ是△PCD的中位线，
∴NQ∥PD，∵NQ?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NQ∥平面PAD，
∵M是AB中点，Q是CD中点，
∴MQ∥AD，∵NQ?平面PAD，AD?平面PAD，
∴NQ∥平面PAD，
又∵NQ?平面MNQ，MQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD，∵MN?平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，NQ∥PD，
∴NQ⊥平面ABCD，∵MQ?平面ABCD，
∴NQ⊥MQ，又∵MQ=AD=1，∴NQ=$\sqrt{M{N}^{2}-M{Q}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴PD=2NQ=4$\sqrt{2}$．
∴V_棱锥P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}$•PD=$\frac{1}{3}×1×1×4\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，是中档题．