Question

6．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是AD、CD、DD₁的中点．
（I）证明：平面A₁BC₁∥平面EFG；
（Ⅱ）证明：平面BB₁D₁⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CD₁、CA、AD₁，由已知推导出A₁B∥CF、A₁C₁∥EF、BC₁∥EG，由此能证明平面A₁BC₁∥平面EFG．
（Ⅱ）由已知推导出EF⊥B₁D₁，EF⊥BB₁，由此能证明平面BB₁D₁⊥平面EFG．

解答 证明：（Ⅰ）连结CD₁、CA、AD₁，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是AD、CD、DD₁的中点，
∴GF∥CD₁、EF∥CA、EG∥AD₁，
∵A₁B∥CD₁、A₁C₁∥CA、BC₁∥AD₁，
∴A₁B∥CF、A₁C₁∥EF、BC₁∥EG，
∵CF、EF、EG两两相交，
∴平面A₁BC₁∥平面EFG．
（Ⅱ）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，EF∥AC，
∴EF⊥B₁D₁，
∵BB₁⊥平面ABCD，∴EF⊥BB₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁，
∵EF?平面EFG，∴平面BB₁D₁⊥平面EFG．

点评 本题考查面面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．