题目内容
4．已知函数f（x）=x3+kx（k∈R），若关于x的方程f（x）=lnx+2ex2有唯一解，则下列说法正确的是（ ）| A． | k=$\frac{1}{e}$+e | |
| B． | 函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为e2-$\frac{1}{e}$ | |
| C． | 函数f（x）在[0，e]上单调递减 | |
| D． | 函数f（x）在[0，e]上的最大值为2e3+1 |
分析 由题意可得k=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x2有唯一解，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x2，求导g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x），从而可得k=g（e）=$\frac{1}{e}$+e2，从而依次判断．
解答 解：∵关于x的方程f（x）=lnx+2ex2有唯一解，
∴x3+kx=lnx+2ex2有唯一解，
∴k=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x2有唯一解，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+2ex-x2，
则g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x），
故当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0；
故g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，
故k=g（e）=$\frac{1}{e}$+e2，
故A不正确，
f′（x）=3x2+k，故f′（0）=$\frac{1}{e}$+e2，
故B不正确；
易知f（x）在[0，e]上单调递增，且f（e）=2e3+1，
故选：D．
点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及导数的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，椭圆C的右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，椭圆C的下顶点为D．