Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（1）求当a分别取-1，0，1时，f（x）的最小值；
（2）求f（x）的最小值h（a）的函数解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）考虑绝对值的定义，去绝对值，讨论二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到最小值；
（2）改写成分段函数的形式，再对a讨论，①当a≥

1

2

时，②当-

1

2

＜a＜

1

2

时，③当a≤-

1

2

时，运用函数的单调性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）①a=-1，f（x）=x²+|x+1|+1，
当x＞-1时，f（x）=x²+x+2，最小值为f（-

1

2

）=

7

4

，
当x≤-1时，f（x）=x²-x，递减，最小值为f（-1）=0．
则最小值为0；
②a=0时，x＞0，f（x）=x²+x+1，递增，f（x）＞1；
x≤0，f（x）=x²-x+1，递减，f（x）≥1．
则最小值为1；
③a=1时，x＞1时，f（x）=x²+x，递增，f（x）＞2；
x≤1，f（x）=x²-x+2，f（x）≥f(

1

2

)=

7

4

．
则最小值为

7

4

．
（2）f（x）=x²+|x-a|+1=

(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 ，x≥a (x- 1 2 )2+a+ 3 4 ，x＜a

，
①当a≥

1

2

时，
f（x）_min=f（

1

2

）=a+

3

4

，
②当-

1

2

＜a＜

1

2

时，
f（x）_min=f（a）=a²+1，
③当a≤-

1

2

时，
f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

-a，
综上所述，
f（x）_min=

a+ 3 4 ，a≥ 1 2 a2+1，- 1 2 ＜a＜ 1 2 3 4 -a，a≤- 1 2

．

点评：本题考查了绝对值函数转化为分段函数求最小值的求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．