Question

设函数f（x）=e^x-ln（x+1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）已知0≤x₁＜x₂，求证：e^x₂-x₁＞ln

e(x2+1)

x1+1

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出函数f（x）的导数，再令h（x）=xe^x+e^x-1，求出导数，判断单调区间，进而得到f（x）的单调区间，进而得到f（x）的最小值；
（2）由（1）得e^x₂-x₁＞ln（x₂-x₁+1）+1，令m（x）=ln（x₂-x₁+1）+1-ln

e(x2+1)

x1+1

，运用对数的运算性质，化简整理，得到大于0，再由不等式的传递性，即可得证．

解答： （1）解：函数f（x）=e^x-ln（x+1）的导数
f′（x）=e^x-

1

x+1

=

xex+ex-1

x+1

（x＞-1），
令h（x）=xe^x+e^x-1，h′（x）=（x+2）e^x＞0，
则h（x）在（-1，+∞）递增，由于h（0）=0，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
则f（x）_min=f（0）=e⁰-ln1=1；
（2）证明：由（1）得当x＞0时，e^x＞ln（x+1）+1，
由于0≤x₁＜x₂，
则e^x₂-x₁＞ln（x₂-x₁+1）+1，
则令m（x）=ln（x₂-x₁+1）+1-ln

e(x2+1)

x1+1

=ln

(x2-x1+1)(x1+1)

x2+1

=ln[1+

x1(x2-x1)

x2+1

]＞ln1=0，
即有ln（x₂-x₁+1）+1＞ln

e(x2+1)

x1+1

，
则e^x₂-x₁＞ln

e(x2+1)

x1+1

．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，运用已知结论和不等式的传递性，考查运算能力，属于中档题．